Алгебра и теория чисел

серия Олимпийская математика

автор Адам Нойгебауэр

издатель Издательство Omega School

3-е издание, Тарнув, апрель 2024 г.

количество страниц xiv + 450

ISBN 978-83-7267 -710- 5

EAN-код 9788372677105

В книге всесторонне рассматриваются вопросы теории чисел, от натуральных чисел до эллиптических кривых (представляя собой инструмент для доказательства Великой теоремы Ферма). Том также содержит хронологический список имен, таблицу простых чисел до 2011 года и их первообразных корней, указатель имен и библиографию со ссылками на научно-популярные издания, научные учебники и сборники задач. Информация и задания собраны в 12 разделах.

Основные понятия – напоминание о важнейших знаниях, касающихся натуральных и комплексных чисел, арифметических операций, принципа математической индукции и базовых знаний. алгебраические структуры (группа и кольцо, тело).

Первичная - продолжение сбора основных арифметических фактов - теория делимости, свойства НОД и НОД, деление с остатком, алгоритм Евклида, уравнение ax +by=n, теорема Фробениуса, факторизация простых чисел, p-адические показатели, основная теорема арифметики, тройки Пифагора.

Многочлены - здесь собраны базовые школьные знания (в том числе квадратные уравнения) , о рациональных корнях, теоремы Безу и Лагранжа) и знания, полезные на олимпийском уровне (в том числе фундаментальная теорема алгебры, корни кубических уравнений, круговые и палиндромные многочлены), а также теория делимости в кольце многочленов. /p>

Арифметические функции – здесь представлены свойства функций, связанных с делителями (тау и сигма), а также функции Эйлера и свертка Дирихле.

По модулю арифметика – это краткое объяснение теории конгруэнтности с ее основными теоремами (Эйлер, Ферма, Вильсон, китайские вычеты) и приемами (кольца вычетов по модулю, теорема Лагранжа о групповом порядке, примитивные корни, p-адические числа). Кроме того, мы найдем теоремы о простых числах в арифметических последовательностях, квадратичных остатках и законе взаимности.

Дополнительная информация о многочленах — эта глава расширяет знания о производной полиномиальные, алгебраические и трансцендентные числа, аппроксимации Тейлора, Маклорена и Лагранжа, а также комбинаторная нулевая теорема.

Диофантовы аппроксимации – в этой главе мы узнаем о теореме Дирихле, дробях Фарея и продолжении дроби и характеристики их рациональности

Суммы квадратов - помимо вопросов, связанных с суммой двух квадратов, в этой главе мы узнаем о теории квадратичных форм и. применение арифметических методов для решения геометрических задач.

Рекурсивные последовательности - в качестве примеров изучаются последовательности Фибоначчи и Люка и рекурсивные по модулю, представлен метод распутывания рекурсии с помощью производящих функций, а также матричные обозначения линейных преобразований и применение рекурсии в геометрических задачах.

Квадратные кольца – мы изучаем гауссовы целые числа, а также теории делимости и факторизации в квадратных кольцах. .

Диофантовы уравнения – в этой главе представлены основные методы решения диофантовых уравнений, а затем рассматриваются примеры уравнений Рамануджана и Индиана, формулируется Великая теорема Ферма и безуспешные попытки доказать объясняются и обсуждается теория кубических кривых, что вводит идею правильного доказательства.

Дополнительные новости – здесь вы найдете интересную информацию, теоремы и задания на целую и дробную части действительных чисел, позиционную запись натуральных и вещественных чисел, разложение чисел в суммы египетских дробей, гармонические числа, коэффициенты биномиального разложения и свойства символа Ньютона, расположение простых чисел на оси и другие свойства. простых чисел.