Фирменные лекции по математике, Алгебре с геометрией

автор Марек Закшевский

издатель Oficyna Wydawnicza GiS

1-е издание, Вроцлав, 2015 г.

количество страниц xvi + 312

ISBN 978-83-62780 - 35-8

EAN-код 9788362780358

«Алгебра с геометрией» — третий том серии «Лекции Маркове по математике» — представляет собой базовую лекцию по аналитической геометрии и линейной алгебре, а также введение в абстрактную алгебру. В частности, читатель изучает комплексные числа, матричное исчисление, основные алгебраические структуры и элементы теории Галуа. Кроме того, обсуждались многочисленные приложения, в том числе: для определения ранга веб-сайтов, теории кодирования и марковских процессов.

Оглавление

I Комплексные числа и уравнения 1

1 Комплексные числа 5

1.1 Действия над комплексными числами. . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Геометрическая интерпретация. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Математики итальянского Возрождения. . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Формула Муавра и квадратные корни из единицы 13

2.1 Тригонометрическая форма и формула Муавра. . . . . . . . . . 13

2.2 Элементы N-й степени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Корни из единицы и правильные многоугольники* . . . . . . . . . . . 18

3 Полиномы и основная теорема алгебры 21

3.1 Полиномы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Основная теорема алгебры. . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Алгебраические уравнения третьей степени* . . . . . . . . . . . . 27

4 Линии и конические кривые 29

4.1 Уравнение прямой и уравнение окружности. . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 Конические кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3 Конические уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Третье измерение 39

5.1 Векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2 Линии и плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3 Евклид и его элементы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

II Системы линейных уравнений, матрицы и определители 49

6 Системы линейных уравнений и метод исключения 53

6.1 Системы, отмеченные значком . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2 Противоречивые и неопределенные системы. . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7 Матрицы 59

7.1 Матричная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2 Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.3 Обращение матрицы и метод исключения. . . . . . . . . . . . 66

8 Определители 69

8.1 Определение определителя и простейшие вычисления. . . . . . . . . 69

8.2 Свойства определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.3 Две очень важные теоремы. . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9 Расширение Лапласа и его последствия 79

9.1 Расширение Лапласа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9.2 Формула обратной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

9.3 Формулы Крамера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

9.4 Такакадзу Сэки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

10 Площади, объемы и определители 87

10.1 Площадь параллелограмма и ориентация плоскости. . . . . . . . . . 87

10.2 Векторное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

10.3 Смешанное произведение и объем параллелепипеда. . . . . . . . . . 94

10.4 Островные математики: Гамильтон и Кэли. . . . . . . . . . . . . 96

III Линейные пространства и системы уравнений 97

11 Линейные пространства 101

11.1 Определения и примеры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

11.2 Линейные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

12 Независимость, базис и размерность 109

12.1 Линейные комбинации и независимость . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

12.2 Основание и размеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

12.3 Банах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

13 Системы уравнений и линейные подпространства R

n 119

13.1 Порядок