Теория чисел: Том I: Инструменты и диофантовы уравнения

Центральной темой этого учебника по теории чисел для аспирантов является решение диофантовых уравнений, то есть уравнений или систем полиномиальных уравнений, которые необходимо решать в целых, рациональных числах или, в более общем смысле, в алгебраических числах. Эта тема, в частности, является центральной мотивацией современной теории арифметической алгебраической геометрии. В этом тексте это рассматривается через три аспекта. Первый - локальный аспект: анализ можно проводить в p-адических полях, и здесь автор начинает с рассмотрения решений в конечных полях, а затем переходит к поднятию этих решений до локальных решений с помощью подъема Гензеля. Второй — глобальный аспект: использование числовых полей, в частности групп классов и групп единиц. Эта классическая тема иллюстрируется здесь множеством примеров. Третий аспект касается конкретных классов уравнений и, в частности, общего и диофантового исследования эллиптических кривых, включая 2- и 3-спуск и метод Хегнерпойнта. Эти темы составляют первые две части, составляющие том I. Изучение чисел Бернулли, гамма-функции, дзета- и L-функций, а также p-адических аналогов подробно рассматривается в третьей части книги, включая множество интересных и оригинальных приложений. Для изучения диофантовых уравнений были применены гораздо более сложные методы, и по этой причине автор включил пять глав, посвященных этим методам, образуя четвертую часть, которая вместе с третьей частью образует том II. Эти главы были написаны Яном Бюжо, Гийомом Анро, Морисом Миньоттом, Сильвеном Дюкеном, Самиром Сиксеком и автором и содержат материал по использованию представлений Галуа, точек на кривых высшего рода, уравнения суперферма, доказательства Михайлеску гипотезы Каталана и применения линейных форм в логарифмах. Книга содержит 530 упражнений различной сложности из непосредственных последствий основной текст исследования проблем [...]