Введение в математику

Автор: Ежи Топп

Издательство Гданьского университета

Это новейшая версия лекций и упражнений для студентов первых семестр математики и информатики, проводимый автором в Гданьском университете и Гданьском политехническом университете.

Содержание включает в себя исчисление высказываний и элементы логики, исчисление множеств, кванторы, функции, отношения, степени множеств и элементов булевой алгебры. Все изложено интуитивно, с одной стороны, и достаточно корректно и формально, с другой. Приводятся доказательства практически всех выдвинутых утверждений. Большинство понятий, свойств и теорем иллюстрируются примерами и рисунками. Это должно облегчить понимание материала, который относительно прост, но богат новыми концепциями и формализмами. Кроме того, каждая глава заканчивается множеством, в основном типичных, заданий и теста.

Чтобы пользоваться этим учебником, вам не нужно знать никакой математической теории. Именно элементарное знание изложенного материала должно облегчить учащимся чтение последующих учебников, прослушивание других математических лекций и изучение новых теорий.

Содержание

ПРЕДИСЛОВИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Глава 1. ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1. Предложения и формулы предложений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Булевы значения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Тавтологии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4. Экстенсиональность функторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1,5. Логический квадрат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.6. Правила вывода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.7. Методы доказательства теорем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.8. Анализ рассуждений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.9. Упражнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Глава 2. КОЛЛЕКЦИИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.1. Что такое набор? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2. Принцип экстенсиональности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3. Подмножества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4. Уборочные операции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.5. Декартово произведение множеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.6. Исчисление кванторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.7. Обобщенная сумма и обобщенное произведение семейства множеств. . . . . . . . . . 72

2.8. Тело наборов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.9. Аксиоматика теории множеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.10. Упражнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Глава 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ

И РЕКУРРАЦИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.1. Натуральные числа и математическая индукция. . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.2. Рекурсивное отношение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.3. Упражнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Глава 4. ФУНКЦИИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.1. Определение функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.2. Свойства функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.3. Усечение и расширение функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.4. Арифметические действия над функциями. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.5. Функциональная композиция. . .