Алгебра та теорія чисел

серія Olympic Mathematics

автор Адам Нойгебауер

видавець Видавництво Omega School

3-є видання, Тарнув, квітень 2024

кількість сторінок xiv + 450

ISBN 978-83-7267 -710- 5

Код EAN 9788372677105

Книга всебічно охоплює питання теорії чисел, від натуральних чисел до еліптичних кривих (надає інструмент для доведення останньої теореми Ферма). Том також містить хронологічний перелік імен, таблицю простих чисел до 2011 року та їх первісних коренів, покажчик імен та бібліографію за науково-популярними назвами, навчальними посібниками та збірниками завдань. Інформація та завдання зібрані в 12 розділах.

Основні поняття - нагадування найважливіших знань щодо натуральних і комплексних чисел, арифметичних дій, принципу математичної індукції та основ. алгебраїчні структури (група та кільце, тіло).

Primary - продовження збору основних арифметичних фактів - теорія подільності, НОД та властивості НОД, ділення з залишком, алгоритм Евкліда, рівняння ax +by=n, теорема Фробеніуса, розкладання на прості множники, р-адичні показники, фундаментальна теорема арифметики, трійки Піфагора.

Многочлени – тут зібрано базові шкільні знання (включно з квадратними рівняннями) , про раціональні корені, теореми Безу та Лагранжа) та знання, корисні на олімпійському рівні (включаючи фундаментальну теорему алгебри, корені кубічних рівнянь, кругові та паліндромні поліноми), а також була представлена ​​теорія подільності в кільці поліномів.

Арифметичні функції – тут представлено властивості функцій, пов’язаних із дільниками (тау та сигма), а також функції Ейлера та згортку Діріхле.

Modulo арифметика– це стисле пояснення теорії конгруенції з її основними теоремами (Ейлера, Ферма, Вільсона, китайські залишки) і прийомами (кільця залишків за модулем, теорема Лагранжа про порядок груп, первісні корені, р-адичні числа). Крім того, ми знайдемо теореми про прості числа в арифметичних послідовностях, квадратичні залишки та закон взаємності.

Додаткова інформація про поліноми - цей розділ розширює знання про похідну від поліном, алгебраїчні та трансцендентні числа, наближення Тейлора, Маклорена та Лагранжа та комбінаторну теорему про нуль.

Діофантові наближення - у цьому розділі ми дізнаємося про теорему Діріхле, дроби Фарея та продовження дроби та характеристики їх раціональності

Суми квадратів - крім питань, пов'язаних із сумою двох квадратів, у цьому розділі ми дізнаємося про теорію квадратичних форм і. застосування арифметичних методів для розв’язування геометричних задач.

Рекурсивні послідовності - досліджуються приклади послідовностей Фібоначчі та Лукаса та рекурсивного модуля, вводиться метод розгадки рекурсії шляхом генерування функцій, а також матричну нотацію лінійних перетворень і застосування рекурсії в геометричних задачах.

Квадратні кільця – ми дізнаємось про цілі числа Гауса та теорії подільності та факторизації в квадратних кільцях .

Діофантові рівняння – у цьому розділі представлені основні методи розв’язування діофантових рівнянь, а потім розглядаються приклади рівнянь Рамануджана та Індія, формулюється остання теорема Ферма та невдалі спроби довести це пояснюється, а також обговорюється теорія кубічних кривих, яка вводить ідею правильного доказу.

Додаткові новини – тут ви знайдете цікаву інформацію, теореми та завдання про цілі та дробові частини дійсних чисел, позиційний запис натуральних і дійсних чисел, розкладання чисел на суми єгипетських дробів, гармонічні числа, біноміальні коефіцієнти розкладання та властивості символу Ньютона, розташування простих чисел на осі та інші властивості простих чисел.