Брендові лекції з математики Алгебра з геометрією

автор Марек Закжевський

видавець Oficyna Wydawnicza GiS

1-ше видання, Вроцлав 2015

кількість сторінок xvi + 312

ISBN 978-83-62780 - 35-8

Код EAN 9788362780358

«Алгебра з геометрією» — третій том із серії «Марковські лекції з математики» — це базова лекція з аналітичної геометрії та лінійної алгебри, а також вступ до абстрактної алгебри. Зокрема, читач вивчає комплексні числа, матричне числення, основні алгебраїчні структури та елементи теорії Галуа. Крім того, було обговорено численні заявки, зокрема: для визначення рангу веб-сайтів, теорії кодування та марковських процесів.

Зміст

I Комплексні числа та рівняння 1

1 Комплексні числа 5

1.1 Операції над комплексними числами. . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Геометрична інтерпретація . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Математики італійського Відродження. . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Формула де Муавра та квадратний корінь з одиниці 13

2.1 Тригонометрична форма та формула де Муавра. . . . . . . . . . 13

2.2 Елементи N-го ступеня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Корені з одиниці та правильні многокутники* . . . . . . . . . . . 18

3 Поліноми та основна теорема алгебри 21

3.1 Поліноми. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Основна теорема алгебри. . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Алгебраїчні рівняння третього степеня* . . . . . . . . . . . . 27

4 Пряма та конічна криві 29

4.1 Рівняння прямої та рівняння кола. . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 Конічні криві . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3 Конічні рівняння. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Третій вимір 39

5.1 Вектори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2 Прямі та площини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3 Евклід та його елементи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

II Системи лінійних рівнянь, матриці та визначники 49

6 Системи лінійних рівнянь і метод виключення 53

6.1 Системи, позначені знаком . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2 Суперечливі та невизначені системи. . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7 Матриці 59

7.1 Алгебра матриць . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2 Обернена матриця . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.3 Інверсія матриці та метод виключення. . . . . . . . . . . . 66

8 Визначники 69

8.1 Визначення визначника та найпростіші обчислення. . . . . . . . . 69

8.2 Властивості визначників . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.3 Дві дуже важливі теореми. . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9 Розширення Лапласа та його наслідки 79

9.1 Розширення Лапласа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9.2 Формула оберненої матриці . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

9.3 Формули Крамера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

9.4 Такакадзу Секі. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

10 Площі, об'єми та визначники 87

10.1 Площа паралелограма та орієнтація площини. . . . . . . . . . 87

10.2 Векторний добуток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

10.3 Мішаний добуток на об’єм паралелепіпеда. . . . . . . . . . 94

10.4 Острівні математики: Гамільтон і Кейлі. . . . . . . . . . . . . 96

III Лінійні простори та системи рівнянь 97

11 Лінійні простори 101

11.1 Визначення та приклади. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

11.2 Лінійні підпростори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

12 Незалежність, основа та розмірність 109

12.1 Лінійні комбінації та незалежність . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

12.2 Основа та розміри . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

12.3 Банах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

13 Системи рівнянь і лінійні підпростори R

n 119

13.1 Порядок