Wstęp do algebry 2 Algebra liniowa Aleksiej I. Kostrikin

Назва:  Вступ до алгебри 2. Лінійна алгебра.

Автори:  Кострикін Олексій

Видавець:  Wydawnictwo Naukowe PWN S.A.

ISBN:  978-83-01-14267-4

Місце та рік видання:  Варшава 2007

Видання:  I

Кількість сторінок:  369

Формат  B5

Опис

Друга з трьох частин чудового підручника, який знайомить читача зі світом сучасної алгебри та її застосувань. У ній розглядаються найважливіші проблеми лінійної алгебри. Також показано його застосування в різних задачах математичного аналізу, алгебри Лі, деяких економічних задачах, диференціальних рівняннях і геометрії Лобачевського.

Підручник містить велику кількість вправ різного ступеня складності. Деякі з них супроводжуються порадами та рішеннями. Наприкінці є розділ про кілька нерозв’язаних проблем, пов’язаних із поліномами.

Зміст

Передмова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI

Додаткова література . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XII

РОЗДІЛ 1. ПРОСТІР І ФОРМИ . . . . . . . . . . . . . . 1

§1. Абстрактні лінійні простори. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. Мотивація та аксіоматика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Лінійні покриття. Підпростори. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3. Примітки щодо геометричної інтерпретації. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

§2. Розмір і основа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1. Лінійний зв'язок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Розмірність і базис лінійного простору. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Координати. Ізоморфізм простору. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4. Спільна частина та алгебраїчна сума підпросторів. . . . . . . . . . . . 16

5. Прості суми. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6. Факторні простори. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

§3. Подвійний простір. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1. Лінійні форми. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2. Подвійний простір і двоїста основа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3. Рефлексивність. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4. Критерій лінійної незалежності. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5. Геометрична інтерпретація розв'язків однорідних лінійних систем 30

Вправи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

§4. Білінійні та квадратні форми. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1. Багатолінійні відображення. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2. Дворядкові форми. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3. Матричне перетворення білінійної форми. . . . . . . . . . . . . . . . 34

4. Симетричні та антисиметричні форми. . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5. Квадратні форми. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6. Канонічна форма квадратичної форми. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

VI ЗМІСТ

7. Дійсні квадратичні форми. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

8. Позитивно визначені форми та матриці. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

9. Канонічна форма антисиметричної форми. . . . . . . . . . . . . . . . 46

10. пфафівський. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

ГЛАВА 2. ОПЕРАТОРИ ЛІНІЇ . . . . . . . . . . . . . . . . 51

§1. Лінійні перетворення лінійних просторів. . . . . . . . . . . . 51

1. Мова лінійних перетворень. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2. Матриця лінійного перетворення. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3. Розміри ядра та зображення. . . . . . . . . . . . . . . . . .